Antes de comenzar

En caso de identificar errores en la documentación, en la resolución, implementación u otro, o si quieres proponer una solución más elegante a las problemáticas propuestas, escríbeme a vosores@ucm.cl

Inecuaciones

1.- Resuelva:
$-\displaystyle\frac{x-1}{4}+1<\displaystyle\frac{3 x-1}{2}.$
Solución:

$$\begin{align} -\frac{x-1}{4}+1<\frac{3 x-1}{2} & \Rightarrow-\frac{x-1}{4}+\frac{1 \cdot 4}{4}<\frac{(3 x-1) \cdot 2}{4}\\ & \Rightarrow-x+5<6 x-2 \\ &\Rightarrow 7<7 x \\ &\Rightarrow x>1\\ &\Rightarrow x \in(1, +\infty) \end{align}$$

2.- Resuelva:
$\displaystyle\frac{x-2}{3}-\displaystyle\frac{x-1}{4}>\displaystyle\frac{x-3}{2}-1.$
Solución:

$$\begin{aligned} \frac{x-2}{3}-\frac{x-1}{4}>\frac{x-3}{2}-1 &\Rightarrow \frac{4(x-2)}{12}-\frac{3(x-1)}{12}>\frac{6(x-3)}{12}-\frac{12}{12} \\ & \Rightarrow 4 x-8-3 x+3>6 x-18-12\\ & \Rightarrow-5 x>-25 \Rightarrow x<5 \\ &\Rightarrow x \in(-\infty, 5) \end{aligned}$$

3.- Resuelva:
$x^{2}-8 x+12 \leq 0.$
Solución:
Obtenemos las raíces de $x^{2}-8 x+12=0$ con dos fines: Primero, factorizar el polinomio que aparece en el primer miembro y segundo, determinar las tres zonas a estudiar para las que se verifica la inecuación:

$$x^{2}-8 x+12=0 \Rightarrow x=\frac{8 \pm \sqrt{(-8)^{2}-4 \cdot 12}}{2}=\frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}=\left\{\begin{array}{l}x_{1}=6 \\ x_{2}=2\end{array}\right.$$

por lo que:

$$x^{2}-8 x+12 \leq 0 \Rightarrow(x-2)(x-6) \leq 0.$$

Estos dos puntos determinan tres zonas: los valores menores o iguales que 2, los valores comprendidos entre 2 y 6 , ambos incluidos, y los valores mayores o iguales que 6. Veamos en cuáles de estas tres zonas se satisface la inecuación:

	zona 1	zona 2	zona 3
	$(-\infty, 2]$	$[2,6]$	$[6, +\infty)$
$(x-2)$	-	+	+
$(x-6)$	-	-	+
$(x-2)(x-6)$	+	-	+

Sólo la zona 2 satisface la ecuación, es decir, la solución final es: $x \in[2,6]$.

4.- Resuelva $x^{2}+x-6>0$.
Solución: Obtenemos las raíces de $x^{2}+x-6=0$ con dos fines: Primero, factorizar el polinomio que aparece en el primer miembro y segundo, determinar las tres zonas a estudiar para las que se verifica la inecuación.

$$x^{2}+x-6=0 \Rightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^{2}-4 \cdot(-6)}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}=\left\{\begin{array}{l}x_{1}=3 \\ x_{2}=-2\end{array}\right.$$

por lo que:

$$x^{2}+x-6>0 \Rightarrow(x-3)(x+2)>0$$ $$\begin{array}{l|c|c|c} & (-\infty,-2) & (-2,3) & (3, +\infty) \\ \hline (x+2) & - & + & + \\ (x-3) & - & - & + \\ (x-3)(x+2) & + & - & + \\ \end{array}$$

Es decir, la solución final es: $x \in (-\infty,-2) \cup (3, +\infty).$

5.- Resuelva el siguiente sistema de innecuaciones:

$$\begin{array}{rl} \frac{4 x-1}{3}-\frac{x}{2} &\geq 5 \\ \frac{x-5}{3}+\frac{x}{2}&>1\\ \end{array}$$

Solución: Se resuelve cada una de las inecuaciones lineales. El resultado final es la intersección de ambas soluciones:

$$\begin{aligned} \frac{4 x-1}{3}-\frac{x}{2} \geq 5 & \Rightarrow 8 x-2-3 x \geq 30\\ & \Rightarrow 5 x \geq 32 \\ & \Rightarrow x \geq \frac{32}{5} \\ & \Rightarrow x \in [\frac{32}{5}, +\infty)\\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{x-5}{3}+\frac{x}{2}>1 &\Rightarrow 2 x-10+6 x>6 \\ &\Rightarrow 8 x>16\\ & \Rightarrow x>2\\ \Rightarrow & x \in(2, +\infty) \end{aligned}$$

Así que la solución es: $x \in\left[\frac{32}{5}, +\infty\right) \wedge x \in(2, +\infty) \Rightarrow x \in\left[\frac{32}{5}, +\infty\right).$

6.- Resolver la siguiente inecuación:

$$|x-1| \leq 3.$$

Solución:

$$\begin{array}{rlr} |x-1| \leq 3 & \Leftrightarrow-3 \leq x-1 \leq 3 /+1 \\ & \Leftrightarrow-2 \leq x \leq 4 \\ & \therefore S_F=[-2,4] \end{array}$$

7.- Resolver la inecuación:

$$|2 x+4| \geq 6.$$

Solución:

$$\begin{array}{rl} |2 x+4| \geq 6 & \Rightarrow 2 x+4 \leq-6 \vee 2 x+4 \geq 6\\ & \Rightarrow x+2 \leq-3 \vee x+2 \geq 3 \\ & \Rightarrow x \leq-5 \vee x \geq 1 \end{array}$$

Como $x$ es menor o igual que $-5$ o $x$ es mayor o igual que 1, el conjunto solución estará dado por la unión de estos intervalos (tal y como se aprecia en la Figura)
Luego el conjunto solución será: $S_F=]-\infty,-5] \cup[1, \infty[$.

8.- Resuelva:

$$\left|x^{2}+3\right| \geq 5.$$

Solución:

$$\begin{aligned} \left|x^{2}+3\right| \geq 5 & \Rightarrow x^{2}+3 \leq-5 \vee x^{2}+3 \geq 5\\ & \Rightarrow x^{2} \leq-8 \vee x^{2} \geq 2 \\ & \Rightarrow x^{2} \leq-8 \vee|x| \geq \sqrt{2} \\ & \Rightarrow x^{2}+8 \leq 0 \vee x^{2} \geq 2 \end{aligned}$$

Observamos que $x^{2}+8=0$ no tiene solución en $\mathbb{R}$, es decir su solución es $\emptyset$, para el segundo caso se tiene:

$$x^{2} \geq 2 \Rightarrow|x| \geq \sqrt{2} \Rightarrow x \leq-\sqrt{2} \vee x \geq \sqrt{2}.$$

Luego el conjunto solución es $S_F=]-\infty,-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2},+\infty[$.

9.- Resuelva la siguiente inecuación:

$$\left|\frac{x}{2}+7\right| \geq 2.$$

Solución:

$$\begin{aligned} \left|\frac{x}{2}+7\right| \geq 2 &\Rightarrow \frac{x}{2}+7 \leq-2 \vee \frac{x}{2}+7 \geq 2 \\ & \Rightarrow \frac{x}{2} \leq-9 \vee \frac{x}{2} \geq-5 \\ & \Rightarrow x \leq-18 \vee x \geq-10 \end{aligned}$$ $$\therefore S_F=]-\infty,-18] \cup[-10, \infty[.$$

10.- Resuelve las siguiente ecuación con valor absoluto:

$$|x-1|+|4-2 x|=4.$$

Solución:

Vemos que los valores que anulan el valor absoluto son $x=1$ y $x=2$ (además no satisfacen la igualdad), luego debemos resolver la ecuación para los siguientes intervalos:

• Caso 1: $(-\infty, 1)$

$$\begin{aligned} -x+1+4-2 x & =4 \\ -3 x & =-1 \\ x & =\frac{1}{3} \end{aligned}$$

• Caso 2: $(1,2)$

$$\begin{aligned} x-1+4-2 x & =4 \\ -x & =1 \\ x & =-1 \end{aligned}$$

Esta solución no pertenece al intervalo, por lo cual se descarta

• Caso 3: $(2, \infty)$

$$\begin{aligned} x-1-4+2 x & =4 \\ 3 x & =9 \\ x & =3 \end{aligned}$$

Luego las soluciones son $x=3, x=\frac{1}{3}$.

11.- Resuelva la siguiente inecuación:

$$|x-1|<2|x-3|.$$

Solución:

Primero que todo elevamos al cuadrado para eliminar el Valor Absoluto, desarrollamos algebraicamente de tal modo que al lado derecho de nuestra inecuación nos resulte 0, tal y como se aprecia a continuación:

$$\begin{aligned} |x-1|<2|x-3| /()^{2} & \Rightarrow(x-1)^{2}<4(x-3)^{2} \\ & \Rightarrow x^{2}-2 x+1<4\left(x^{2}-6 x+9\right) \\ & \Rightarrow x^{2}-2 x+1<4 x^{2}-24 x+36 \\ & \Rightarrow 3 x^{2}-22 x+35>0 \\ & \Rightarrow(3 x-7)(x-5)>0 \end{aligned}$$

Puntos Críticos:

• $3 x-7=0 \Rightarrow x=\frac{7}{3}$
• $x-5=0 \Rightarrow x=5$

Luego usando la tabla de signos, obtenemos:

Intervalos	$]-\infty,\frac{7}{3}[$	$]\frac{7}{3}, 5[$	$]5, +\infty[$
$3 x-7$	-	+	+
$x-5$	-	-	+
Resultado	+	-	+

$$\therefore S_F=]-\infty, \frac{7}{3}[\cup] 5, \infty[.$$

12.- Encuentre el conjunto solución:

$$\left|\frac{x+2}{x-6}\right|-\left|\frac{x-1}{x-3}\right|<0$$

Solución: (Notar que $x$ no puede ser 3 ni 6.)

$$\begin{aligned} \left|\frac{x+2}{x-6}\right|-\left|\frac{x-1}{x-3}\right|<0 & \Rightarrow \frac{|x+2|}{|x-6|}<\frac{|x-1|}{|x-3|} \\ & \Rightarrow|x+2||x-3|<|x-1||x-6| /()^{2} \\ & \Rightarrow(x+2)^{2}(x-3)^{2}<(x-1)^{2}(x-6)^{2} \\ & \Rightarrow\left(x^{2}+4 x+4\right)\left(x^{2}-6 x+9\right)<\left(x^{2}-2 x+1\right)\left(x^{2}-12 x+36\right) \\ & \Rightarrow x^{4}-2 x^{3}-11 x^{2}+12 x+36<x^{4}-14 x^{3}+61 x^{2}-84 x+36 \\ & \Rightarrow 12 x^{3}-72 x^{2}+96 x<0 / \cdot \frac{1}{12} \\ & \Rightarrow x^{3}-6 x^{2}+8 x<0 \\ & \Rightarrow x\left(x^{2}-6 x+8\right)<0 \\ & \Rightarrow x(x-2)(x-4)<0 \end{aligned}$$

A partir de aquí resolvemos con tabla de signo.

Puntos Críticos:

• $x=0$
• $x=2$
• $x=4$

Se aprecia que nuestro ejercicio es menor que 0 , por lo tanto las soluciones que buscamos son aquellas negativas, como se aprecia en la tabla: (Notar que el 0, el 2 y el 4 no satisfacen la desigualdad, por esta razón los intervalos en la tabla de signo quedan abiertos.)

Intervalos	$]-\infty, 0[$	$]0,2[$	$]2,4[$	$]4, +\infty[$
$x$	-	+	+	+
$x-2$	-	-	+	+
$x-4$	-	-	-	+
Resultado	-	+	-	+

Luego el conjunto solución es:

$$\therefore S_F=(]-\infty, 0[\cup] 2,4[)-\{3\}$$

(debemos quitar el 3 pues originalmente 3 no podía ser solución.)

13.- Resuelva la siguiente inecuación con valor absoluto:

$$\left|\frac{3 x+12}{x+2}\right|>1.$$

Solución:

$$\begin{aligned} \left|\frac{3 x+12}{x+2}\right|>1 & \Rightarrow \frac{3 x+12}{x+2}<-1 \vee \frac{3 x+12}{x+2}>1 \\ & \Rightarrow \frac{3 x+12}{x+2}+1<0 \vee \frac{3 x+12}{x+2}-1>0 \\ & \Rightarrow \frac{3 x+12+x+2}{x+2}<0 \vee \frac{3 x+12-x-2}{x+2}>0 \\ & \Rightarrow \frac{4 x+14}{x+2}<0 \vee \frac{2 x+10}{x+2}>0 \end{aligned}$$

Tras hacer la tabla de signos (tarea) obtenemos la solución es:

$$S_F=(-\infty,-5) \cup\left(-\frac{7}{2},-2\right) \cup(-2, \infty).$$

14.- Sea

$$A=\{x \in \mathbb{R}:|x-| x+2|| \leq 4\} .$$

a) Decida si ${A}$ es acotado superior y/o inferiormente.
b) Determine, en caso de que existan el supremo e ínfimo de ${A}$.
c) Determine, en caso de que existan el máximo y mínimo de ${A}$.

Solución Por definición,

$$|x+2|= \begin{cases}x+2, & \text { si } x \geq-2 \\ -(x+2), & \text { si } x<-2\end{cases}$$

Caso 1: $x \geq-2$

$$\begin{aligned} & |x-(x+2)| \leq 4 \Longrightarrow 2 \leq 4, \text { Verdadero } \forall x \in \mathbb{R} \end{aligned}$$ $$\therefore S_1=\mathbb{R} \cap[-2,+\infty[=[-2,+\infty[$$

Caso 2: $x<-2$

$$\begin{aligned} |x+x+2| \leq 4 &\Longrightarrow|2 x+2| \leq 4 \\ &\Longrightarrow|x+1| \leq 2 \\ &\Longrightarrow -2 \leq x+1 \leq 2 \\ &\Longrightarrow-3 \leq x \leq 1 \\ \end{aligned}$$

$\therefore \left.S_2=[-3,1] \cap\right]-\infty,-2[=[-3,-2[$.

Finalmente $S=S_1 \cup S_2=[-2,+\infty[\cup[-3,-2[=[-3,+\infty[$.

a) ${A}$ es acot. inferiormente por cualquier $x\in ]-\infty,-3]$ pero no es acot. superiormente.
b) $\sup ({A})= \nexists$, e $\inf ({A})=-3$
c) $\operatorname{máx}({A}) =\nexists$, y $\min ({A})=-3$

15.- Resuelva la siguiente inecuación

$$2|x+2|<|x-1|.$$

Solución: Primero notemos que

$$|x+2|= \begin{cases}x+2, & \text { si } x \geq-2 \\ -(x+2), & \text { si } x<-2\end{cases}$$

y

$$|x-1|= \begin{cases}x-1, & \text { si } x \geq 1 \\ -(x-1), & \text { si } x<1\end{cases}$$

Particionando la recta real como lo hemos hecho en clases, se tienen los siguientes casos:

Caso 1: $x\in]-\infty,-2[$.

$$\begin{aligned} -2(x+2)&<-(x-1) \\ -2 x-4&<-x+1 \\ -5&<x \end{aligned}$$ $$\left.\therefore \quad S_1=\right]-\infty,-2[\cap]-5,+\infty[=]-5,-2[$$

Caso 2: $x\in [-2,1[$.

$$\begin{aligned} 2(x+2)&<-(x-1) \\ 2 x+4&<-x+1 \\ 3 x&<-3 \\ x&<-1 \\ & \therefore \quad S_2=[-2,1[\cap]-\infty,-1[=[-2,-1[ \\ \end{aligned}$$

Caso 3: $x\in[1,+\infty[$.

$$\begin{aligned} 2(x+2)&<(x-1) \\ 2 x+4&<x-1\\ &x<-5 \end{aligned}$$

$\therefore \quad S_3=[1,+\infty[\cap]-\infty,-5[=\emptyset$

Finalmente

$\left.\therefore S_F=S_1 \cup S_2 \cup S_3=\right]-5,-2[\cup[-2,-1[=]-5,-1[$.

Cálculo de límites

Límite de sucesiones

1.- Calcule los siguientes limites.
a.-

$$\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+5}{n+2}\right)^n=&\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+2+3}{n+2}\right)^n \\ =&\lim _{m \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+2}{n+2}+\frac{3}{n+2}\right)^n \\ =&\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{3}{n+2}\right)^n \\ =&\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{3}{n+2}\right)^{(n+2)-2} \\ =&\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{3}{n+2}\right)^{n+2} \cdot\left(1+\frac{3}{n+2}\right)^{-2} \\ = &e^3 \cdot 1 \\ = &e^3. \end{aligned}$$

b.-

$$\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+3}{n+1}\right)^{n+1} & =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+1+2}{n+1}\right)^{n+1} \\ & =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+1}{n+1}+\frac{2}{n+1}\right)^{n+1} \\ & =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{n+1} \\ & =e^2. \end{aligned}$$

c.-

$$\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{5}{2 n}\right)^{4 n} & =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{5}{2 n}\right)^{2 n \cdot 2} \\ & =\left(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{5}{2 n}\right)^{2 n}\right)^2 \\ & =\left(e^5\right)^2 \\ & =e^{10}. \end{aligned}$$

d.-

$\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{2 n-5}{4 n+1}\right)^n=?$
Sea $q_n=\frac{2 n-5}{4 n+1}$, luego

$$\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow+\infty} q_n & =\frac{2 n-5}{4 n+1} \text{ (Por teorema de cociente de polinómios) }\\ & =\frac{1}{2} \end{aligned}$$

Luego por teorema visto en clases

$$\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{2 n-5}{4 n+1}\right)^n=0. \end{aligned}$$

e.-

$$\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{3 n^2+5 n-6}}{2 n+9} & =\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{3 n^2+5 n-6}}{\sqrt{(2 n+9)^2}} \\ & =\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{3 n^2+5 n-6}{4 n^2+36 n+81}} \\ & =\sqrt{\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{3n^2+5 n-6}{4 n^2+36 n+81}} \text { (por continuidad de } f(x)=\sqrt{x} \text { ) }\\ & =\sqrt{\frac{3}{4}}. \end{aligned}$$

f.-

$$\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow+\infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}) &=\lim _{n \rightarrow+\infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}) \cdot \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}\\ &=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{(n+\sqrt{n})-(n-\sqrt{n})}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}} \\ & =\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}} \\ & =\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{n} \cdot 2}{\sqrt{n\left(1+\frac{\sqrt{n}}{n}\right)}+\sqrt{n\left(1-\frac{\sqrt{n}}{n}\right)}} \\ & =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n} \cdot 2}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}\right)} \\ & =\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}} \\ & =1. \end{aligned}$$

Límite de funciones

1.- Resuelve los siguientes límites:

a.- $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{3}+x^{2}-8 x-12}{x^{4}+4 x^{3}+5 x^{2}+4 x+4}$

Sol:

$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{3}+x^{2}-8 x-12}{x^{4}+4 x^{3}+5 x^{2}+4 x+4}=&\displaystyle\lim _{x \rightarrow-2} \frac{(x + 2)\left(x^{2}-x-6\right)}{(x + 2)\left(x^{3}+2 x^{2}+x+2\right)}\\ =&\displaystyle\lim _{x \rightarrow-2} \frac{(x+2)(x-3)}{(x+2)\left(x^{2}+1\right)}\\ =&\displaystyle\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x-3}{x^{2}+1}\\ =&-1. \end{aligned}$$

b.- $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}$

Sol:

$$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}=&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)}{x-2}\\ =&12. \end{aligned}$$

c.- $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^{4}-x^{3}-x^{2}}{x^{3}-4 x^{2}+5 x}$

Sol:

$$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^{4}-x^{3}-x^{2}}{x^{3}-4 x^{2}+5 x}=&\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(3 x^{3}-x^{2}-x\right)}{x\left(x^{2}-4 x+5\right)}\\ =&\frac{0}{5}\\ =&0. \end{aligned}$$

d.- $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$

Sol: Es una indeterminación $0/0$. Puede resolverse haciendo arreglos algebraicos a la función, multiplicando los términos de la expresión por el conjugado del numerador (un 1 conveniente). Así:

$$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}\\ &=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}\\ &=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\\ &=\frac{1}{2}. \end{aligned}$$

e.- $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x}{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}$

Sol: Es similar al anterior. Para resolverlo hay que multiplicar por un 1 conveniente.

$$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x}{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})}{(\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x})(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})}\\ & =\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})}{(4+x)-(4-x)}\\ &=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})}{2 x}\\ &=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} 2(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})\\ &=2 \cdot(2+2)\\ &=8. \end{aligned}$$

f.- $\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-2 x}-(x-2)}{x-2}$

Sol:

$$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-2 x}-(x-2)}{x-2}&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}-2 x}{x^{2}}}-\left(\frac{x-2}{x}\right)}{\frac{x-2}{x}}(\text { dividiendo el numerador y el denominador por } x)\\ & =\frac{\sqrt{1}-1}{1}\\ &=0. \end{aligned}$$

g. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-5 x+1}}{\sqrt{4 x^{2}+3 x}}$.

Sol:

$$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-5 x+1}}{\sqrt{4 x^{2}+3 x}}=&\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \sqrt{\frac{x^{2}-5 x+1}{4 x^{2}+3 x}}\\ =&\sqrt{\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{x^{2}-5 x+1}{4 x^{2}+3 x}}\\ =&\sqrt{\frac{1}{4}}\\ =&\frac{1}{2}. \end{aligned}$$

h. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+2 x}}{2 x-1}$.

Sol:

$$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+2 x}}{2 x-1}=&\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \sqrt{\frac{x^{2}+2 x}{(2 x-1)^{2}}}\\ =&\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \sqrt{\frac{x^{2}+2 x}{4 x^{2}-4 x+1}}\\ =&\sqrt{\frac{1}{4}}\\ =&\frac{1}{2}. \end{aligned}$$

i. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{3 x^{2}+5 x}{\sqrt{x^{3}+5 x-3}}$.

Sol:

$$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{3 x^{2}+5 x}{\sqrt{x^{3}+5 x-3}}=&\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{3 x^{2}+5 x}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{3}+5 x-3}}{x^{2}}}\\ =&\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{3+\frac{5}{x}}{\sqrt{\frac{x^{3}+5 x-3}{x^{4}}}}\\ =&+\infty. \end{aligned}$$

j. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty}(\sqrt{x+2 \sqrt{x}}-\sqrt{x})$.

Sol:

$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow +\infty}(\sqrt{x+2 \sqrt{x}}-\sqrt{x})&=\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{(\sqrt{x+2 \sqrt{x}}-\sqrt{x})(\sqrt{x+2 \sqrt{x}}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+2 \sqrt{x}}+\sqrt{x}}\\ & =\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{x+2 \sqrt{x}-x}{\sqrt{x+2 \sqrt{x}}+\sqrt{x}}\\ &=\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x+2 \sqrt{x}}+\sqrt{x}}\qquad(\text { multiplicando por } \sqrt{x}/\sqrt{x})\\ & =\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x+2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}\\ &=\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{\sqrt{\frac{x+2 \sqrt{x}}{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}\\ &=\frac{2}{1+1}\\ &=1. \end{aligned}$$

k. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x^{2}+2 x}-\sqrt{x^{2}-3 x}\right)$.

Sol:

$$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x^{2}+2 x}-\sqrt{x^{2}-3 x}\right)&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^{2}+2 x}-\sqrt{x^{2}-3 x}\right)\left(\sqrt{x^{2}+2 x}+\sqrt{x^{2}-3 x}\right)}{\sqrt{x^{2}+2 x}+\sqrt{x^{2}-3 x}}\\ & =\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{x^{2}+2 x-x^{2}+3 x}{\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x^{2}-x}}\\ & =\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{5 x}{\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x^{2}-x}} (\text { extrayendo den numerador y denominador el } x)\\ &=\frac{5}{2}. \end{aligned}$$

l. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x^{2}-5 x+4}-x\right)$.

Sol:

$$\begin{aligned} \displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x^{2}-5 x+4}-x\right)&=\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^{2}-5 x+4}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}-5 x+4}+x\right)}{\sqrt{x^{2}-5 x+4}+x}\\ & =\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{x^{2}-5 x+4-x^{2}}{\sqrt{x^{2}-5 x+4}+x}\\ & =\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-5 x+4}{\sqrt{x^{2}-5 x+4}+x}\\ & =\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{(-5 x+4)}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2}-5 x+4}+x}{x}}\\ & =\displaystyle\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-5+\frac{4}{x}}{\sqrt{1-\frac{5 x+4}{x^{2}}}+1}\\ &=-\frac{5}{2}. \end{aligned}$$

Límites laterales, continuidad

1.- Analice la continuidad de la función dada. Justifica la respuesta en cada caso.

a.-

$$f(x)=\begin{cases}x^{2}, & \text { si } x \leq 1 \\ x-1, & \text { si } x>1\end{cases}$$

Sol: Cada función es continua en su intervalo de definición respectivo; pero es discontinua en $x=1$, pues en ese punto los límites laterales no son iguales. En efecto:

Por la izquierda: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{-}} x^{2}=1$. Por la derecha: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(x-1)=0$.

b.-

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-x^{2}, & \text { si } x \leq 1 \\ x-1, & \text { si } x>1\end{array}\right.$$

Sol: En este caso, la función es continua en todo $\mathbb{R}$, pues cada función es continua en su intervalo de definición y en $x=1$ los límites laterales coinciden y $f(1)=0$.

Por la izquierda: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(1-x^{2}\right)=0$. Por la derecha: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(x-1)=0$.

c.-

$$f(x)= \begin{cases}\cos x, & \text { si } x \leq 0 \\ x+1, & \text { si } x>0\end{cases}$$

Sol: La función es continua en $\mathbb{R}$, pues cada función es continua en su intervalo de definición y en $x=0$ los límites laterales coinciden y $f(0)=1$. En efecto:

Por la izquierda: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \cos x=1$. Por la derecha: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(x+1)=1$.

d.-

$$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x-1}, & \text { si } x \leq 0 \\ \sin x, & \text { si } x>0\end{cases}$$

Sol: La función $f$ está definida en todo $\mathbb{R}$. La función $f(x)=\frac{1}{x-1}$ es continua en $\mathbb{R}-${$1$}, pero ese punto está en el segundo ``tramo’’, por tanto continua en $x\leq 0$. Analicemos los límites laterales.

En $x=0$, los límites laterales dan:

Por la izquierda: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x-1}=-1$. Por la derecha: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sin x=0$. Como no coinciden, la función no es continua en $x=0$.

e.-

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-x, & \text { si } x \leq 1 \\ \ln (2-x) & \text { si } 2>x>1\end{array}\right.$$

Sol: La función $f$ es continua en $]-\infty,2[$. En efecto, al igual que antes, cada función es continua en su dominio de definición, lo único que resta verificar es qué ocurre en $x=1$. Hay que calcular los límites laterales en ese punto.

Por la izquierda: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(1-x)=0$.

Por la derecha: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \ln (2-x)=\ln 1=0$.

Como son iguales y además $f(1)=0$, la función es continua en $x=1$.

2.- ¿Para qué valores de $a$ la función

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^{2}, & \text { si } x \leq 1 \\ 2 x+a, & \text { si } x>1\end{array}\right.$$

es continua en $x=1$?

Sol: En el punto $x=1$ deben ser iguales los límites laterales e iguales a $f(1)=1$.

Por la izquierda:

$$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow a^{-}} x^{2}=1.$$

Por la derecha: $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(2 x+a)=2+a$.

Como deben ser iguales: $1=2+a \Rightarrow a=-1$. Luego, $f$ es continua en $x=1$ si $a=-1$.

3.- Determina los valores de $a$ y $b\in\mathbb{R}$ que hacen que la función

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin (x)-a & x<-\pi \\ \cos (x)+b & -\pi \leq x<0 \\ e^{x}-1 & x \geq 0\end{array}\right.$$

sea continua en todo $\mathbb{R}$.

Sol: Dado que cada función es continua en su dominio de definición, solo falta analizar (forzar) la continuidad en $-\pi$ y $0$. En cada caso los límites laterales deben ser iguales e iguales a $f(-\pi)=-1+b$ y $f(0)=0$, respectivamente.

En $x=-\pi$:

Límite por la izquierda:

$$\displaystyle\lim _{x \rightarrow \pi^{-}} f(x)= \displaystyle\lim _{x \rightarrow \pi^{-}}\sin(x)-a=\sin (\pi)-a=-a$$

Límite por la derecha:

$$\displaystyle\lim _{x \rightarrow \pi^{+}} f(x)=\displaystyle \lim _{x \rightarrow \pi^{+}}\cos (x)+b=\cos (\pi)+b=-1+b.$$

Como deben ser iguales: $-a=-1+b \Rightarrow a=1-b$.

En $x=0$ :

Límite por la izquierda:

$$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)= \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\cos (x)+b=\cos (0)+b=1+b.$$

Límite por la derecha:

$$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)= \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{x}-1\right)=e^{0}-1=0$$

Como deben ser iguales: $1+b=0 \Rightarrow b=-1 \Rightarrow a=2$.

Luego, la función continua en $\mathbb{R}$ si $a=2$ y $b=-1$, es decir:

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin (x)-2 & x<-\pi \\ \cos (x)-1 & -\pi \leq x<0 \\ e^{x}-1 & x \geq 0\end{array}\right.$$

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